夹角公式最容易错的地方，不是背不住，而是把“角”和“方向”混成一锅。考试里我见过太多答案差一个负号，过程全对却丢掉关键分。咱把它拆开：它到底算什么、为什么能算、什么时候要取绝对值。
很多人记公式只记成 cosθ=a·b/(|a||b|)，看着挺熟，真到题里就卡。我的经验是，别把它当三角公式背，把它看成“一个向量在另一个方向上投了多长”。点积 a·b 本质上就是长度乘长度再乘夹角余弦。
你可以拿一个很粗的例子验证：向量 a=(3,0)，b=(4,0)，方向一样，点积是12，长度乘积也是12，所以 cosθ=1，角是0°。如果 b=(-4,0)，点积变成-12，cosθ=-1，角是180°。这就说明，符号不是装饰，它在告诉你两个方向是顺着、垂直，还是顶着。
夹角默认取0°到180°，不是带方向的旋转角。这个细节很小，但很要命。比如两条直线的方向向量分别是 u=(1,2)，v=(-2,-4)，代进去 cosθ=-1，得到180°。可你要问“两条直线的夹角”，通常要的是锐角或直角，这时答案该写0°，因为两条直线其实平行。
所以你要先判断题目问的是“向量夹角”还是“直线夹角”。向量有箭头，反向就是180°；直线没有箭头，反向仍然是同一条方向。做解析几何题时，我会先在草稿纸旁边写一个小字：向量 or 直线。这个习惯能少掉不少低级错。
二维里，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，代入就是 cosθ=(x1x2+y1y2)/√(x1²+y1²)√(x2²+y2²)。三维只多一项：a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，分子加上 z1z2，分母长度也加 z²。结构没变，别被符号吓住。
举个能直接套的题：a=(2,-1,2)，b=(1,2,2)。点积=2×1+(-1)×2+2×2=4；|a|=3，|b|=3，所以 cosθ=4/9。这里别急着按计算器求角度，很多题只要余弦值。硬算角度反而容易把精确答案改成近似数。
直线求角，拿方向向量；平面求角，拿法向量。这句话比背一堆模板管用。两条直线 L1、L2，只要找到它们的方向向量，再用夹角公式。两个平面 α、β，别在平面里找线，直接找法向量 n1、n2。
坑在这里：两个平面的夹角常取锐角，所以常写成 cosθ=|n1·n2|/(|n1||n2|)。绝对值不是随便加的，它是在去掉法向量方向带来的正负。因为同一个平面，法向量 n 和 -n 都合法，题目不该因为你选了哪根箭头而变答案。
我做这类题有个固定顺序：先算点积，看是不是0；再算长度，看有没有特殊数；再决定要不要绝对值。点积为0，直接垂直，后面不用算。点积为正，夹角小于90°；点积为负，向量夹角大于90°。这个判断能帮你发现计算器按错。
比如 a=(1,1)，b=(1,-1)，点积是0，夹角90°，别再展开一堆根号。再比如 a=(2,3)，b=(-4,-6)，点积=-26，长度乘积也是26，向量夹角180°；如果题目问直线夹角，就是0°。同一组数，两种题意，答案差很远。
别死背分子分母。你只记一句：分子是“同位置相乘再相加”，分母是“两根长度相乘”。二维两个位置，三维三个位置，推广到更高维也一样。这个记法比背 x1x2+y1y2+z1z2 稳。
还有个检查法：算出来的 cosθ 必须在-1到1之间。要是你得到 7/3、-5/2，别怀疑数学，肯定是点积或长度算错了。这个检查在考场上特别值钱，10秒钟能救一道大题。
问向量夹角时一般不加，因为反向向量就是180°。问两条直线、两个平面、直线和平面的锐角时，常加绝对值，用来去掉方向选择带来的正负。
不是。向量夹角范围通常是0°到180°。点积为正是锐角，为0是直角，为负是钝角，方向完全相反就是180°。
计算工具差不多，都用方向向量代入。但直线没有箭头，所以结果通常取锐角。算出120°时，直线夹角一般写60°。
因为平面的朝向由法向量决定。两个平面转了多少，可以通过两根法向量转了多少反推出。实际做题时，先从平面方程 Ax+By+Cz+D=0 里拿法向量 (A,B,C)。
看题目。若题目只要 cosθ，就停在分数或根式；若问具体角度，再用反余弦。很多解析几何题保留 cosθ 比写近似角度更稳。